Question

如图，在△ABC中，O在AB上，且OB=OC=AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=PO．
（Ⅰ）求证：PB∥平面COD；
（Ⅱ）求证：平面POD⊥平面COD．

Answer

（I）由已知可得∠AOD=45°，再证明∠OBP=45°，即可得到PB∥OD，利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）利用勾股定理的逆定理可得PD⊥DO，再利用线面、面面垂直的性质即可得到OC⊥PD，从而得到PD⊥平面COD，再利用面面垂直的判定定理即可证明．
证明：（I）∵PO⊥平面ABC，DA∥PO，
∴DA⊥AB，PO⊥AB．
又DA=AO=PO，∴∠AOD=45°．
又AO=，AO===，
∴OB=OP，∴∠OBP=45°．
∴OD∥PB．
又PB⊄平面OCD，OD⊂平面OCD，
∴PB∥平面COD；
（II）由题意可设OA=1，则PO=OB=OC=2，DA=1．
∴OD=，∠POD=45°．
∴PD=DO=．在△PDO中，PD2+DO2=4=PO2，∴∠PDO=90°，∴PD⊥DO．
又△ABC中，OC=OB=2，∠ABC=45°，∴∠COB=90°，∴CO⊥AB．
又PO⊥平面ABC，∴CO⊥平面PAB，故CO⊥PD；
∵CO∩DO=O，∴PD⊥平面COD；
∵PD⊂平面POD，∴平面POD⊥平面COD．