Question

已知函数f（x）=ax²-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）当a=1时，先求出f（x），然后对函数进行求导，结合导数即可判断函数的单调性，进而可求极值       
（2）由f（x）=ax2-lnx，可得，然后结合讨论a的范围，以确定f′（x）的正负，进而可确定函数f（x）的单调性，求出最小值即可求解a．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=x2-lnx，x∈（0，e]，，x∈（0，e]，…（1分）
令f′（x）＞0，得＜x＜e，f′（x）＜0，得0＜x＜，
∴f（x）的单调增区间是[，e]，单调减区间为（0，]． …（4分）
f（x）的极小值为f（）=-ln=ln2．无极大值．…（5分）
（Ⅱ）假设存在实数a，使f（x）=ax2-lnx，（x∈[0，e]）有最小值3，
…（6分）
①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，
∴，（舍去）…（8分）
②当a＞0时，令f′（x）=0得：，
（ⅰ）当0＜＜e即a＞时
f（x）在（0，]上单调递减，在（，e]上单调递增，
∴f（x）min=f（）=．得a=．  …（10分）
（ⅱ）当≥e即0＜a≤时，
x∈（0，e]时，f’（x）＜0，所以，f（x）在（0，e]上单调递减，
∴， （舍去），此时f（x）无最小值．
综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值3．…（12分）