Question

已知椭圆，椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C₁和C₂上，，求直线AB的方程．

Answer

（1）求出椭圆的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程；
（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），根据，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用，即可求得直线AB的方程．
【解析】
（1）椭圆的长轴长为4，离心率为
∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率
∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为
∴b=2，a=4
∴椭圆C2的方程为；
（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），
∵
∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上
∴设AB的方程为y=kx
将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，∴
将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，∴
∵，∴=4，
∴，解得k=±1，
∴AB的方程为y=±x