Question

2012年感动中国十大人物杨善洲的事迹传遍神州大地，感动了千千万万个中华儿女．某退休干部所在家乡有荒山2200亩，他决定从2012年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩．
（1）若所植树全部都成活，则到哪一年他可将荒山全部绿化？
（2）若每亩所植树苗的木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式；
（3）若1.2⁸≈4.3，计算S （精确到1立方米）．

Answer

（1）设植树n年后可将荒山全部绿化，记2012年初植树量为a1，依题意知数列{an}是首项a1=100，公差d=50的等差数列，利用等差数列的求和公式得出关于n的方程，即可求出答案；
（2）由题意得2012年初木材量为2a1m3，到2019年底木材量增加为2a1（1.2）8m3，2013年初木材量为2a2m3，到2019年底木材量增加为2a2（1.2）7m3，…2019年初木材量为2a8m3，到2019年底木材量增加为2a8×1.2m3．结合错位相减法求出到2019年底木材总量即可；
（3）直接把给出的1.28≈4.3代入（2）中求出的S计算．
【解析】
（1）设植树n年后可将荒山全部绿化，记2012年初植树量为a1，
依题意知数列{an}是首项a1=100，公差d=50的等差数列，
则100n+=2200，即n2+3n-88=0⇒（n+11）（n-8）=0
∵n∈N*，∴n=8
∴到2019年初植树后可以将荒山全部绿化．
（2）2012年初木材量为2a1m3，到2019年底木材量增加为2a1（1.2）8m3，
2013年初木材量为2a2m3，到2019年底木材量增加为2a2（1.2）7m3，
…
2019年初木材量为2a8m3，到2019年底木材量增加为2a8×1.2m3．
则到2019年底木材总量S=2a1×1.28+2a2×1.27+2a3×1.26+…+2a8×1.2S=900×1.2+800×1.22+…+400×1.26+300×1.27+200×1.28----①
1.2S=900×1.22+800×1.23+…+400×1.27+300×1.28+200×1.29----②
②-①得0.2S=200×1.29+100×（1.22+1.23+…+1.28）-900×1.2
=700×1.29-500×1.22-900×1.2
=840×1.28-1800．
∴S=4200×1.28-9000；
（3）S=4200×1.28-9000
≈4200×4.3-9000=9060m2
答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060m2；