Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中点．F是BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面A₁FC∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面A₁AC⊥平面BDE．

Answer

（Ⅰ）由于E是AA1的中点．F是BB1的中点，得到A1F∥EB，FC∥ED，再结合线面平行及面面平行的判定定理，可得平面A1FC∥平面BDE；
（Ⅱ）根据正方体的侧棱垂直于底面，结合线面垂直的定义，得到AA1⊥BD．再结合正方形的对角线互相垂直，得到AC⊥BD，从而得到BD⊥平面A1AC，最后利用面面垂直的判定定理，可以证出平面A1AC⊥平面BDE．
证明：（Ⅰ）∵E为AA1的中点，F是BB1的中点．
∴EB∥A1F，ED∥CF
又∵EB⊂平面BDE，A1F⊄平面BDE
∴A1C∥平面BDE，同理可得FC∥平面BDE
又由A1C∩FC=C
∴平面A1FC∥平面BDE；…（6分）
（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴AA1⊥BD
又∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，
∵AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面A1AC
∴BD⊥平面A1AC
又∵BD⊂平面BDE
∴平面A1AC⊥平面BDE．…（12分）