Question

观察如图三角形数表：
假设第n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；
（Ⅱ）归纳出a_n+1与a_n的关系式并求出a_n的通项公式．

Answer

（1）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”，得到第六行的所有6个数字．
（2）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”，则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有an+1=an+n（n≥2），再由累加法求解．
【解析】
（Ⅰ）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”，
得到第六行的所有6个数字分别为：6，16，25，25，16，6．
（Ⅱ）依题意an+1=an+n（n≥2），a2=2．
所以：a3-a2=2，a4-a3=3，an-an-1=n-1，
累加得an-a2=2+3+…+（n-1）=，
所以an=-+1，（n＞2）
当n=2时a2=×22-×2+1=2，也满足上述等式，
故an=-+1．