Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD．

Answer

（1）由题意连接AC，AC交BD于O，连接EO，则EO是中位线，证出PA∥EO，由线面平行的判定定理知
PA∥平面EDB；
（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD．
【解析】
（1）证明：连接AC，AC交BD于O．连接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．
∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO，
∵EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB．

（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC．
∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．
又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．
∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．