Question

已知函数f（x）=x²+1
（1）用定义证明f（x）是偶函数      
（2）用定义证明f（x）在[0，+∞）上是增函数．

Answer

（1）由于函数f（x）=x2+1的定义域为R，且f（-x）=f（x），可得函数为偶函数．
（2）设x2＞x1≥0，计算f（x2）-f（x1）=（x2-x1）（x2-x1）＞0，可得f（x2）＞f（x1），可得
f（x）在[0，+∞）上是增函数．
【解析】
（1）由于函数f（x）=x2+1的定义域为R，且f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x），
故函数为偶函数．
（2）设x2＞x1≥0，由于f（x2）-f（x1）=[+1]-[+1]=（x2-x1）（x2-x1）．
由题设可得（x2-x1）＞0，（x2-x1）＞0，故有f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），
故f（x）在[0，+∞）上是增函数．