Question

二次函数y=f（x）满足：①f（0）=1；②f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；
（3）设g（x）=f（x-a），求g（x）在区间[-1，1]上的最大值．

Answer

（1）设f（x）=y=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1可求c，再由f（x+1）-f（x）=2x可求a，b的值，进而可求函数f（x）
（2）由，结合二次函数的图象可求函数的最值
（3）由g（x）=f（x-a）=x2-（2a+1）x+a2+a+1，x∈[-1，1]，对称轴为：，故需要考虑对称轴与区间[-1，1]的位置关系，从而可讨论①当；②当时分别进行求解
【解析】
（1）设f（x）=y=ax2+bx+c（a≠0）（1分）
由f（0）=1得，c=1（2分）
因为f（x+1）-f（x）=2x
所以a（x+1）2+b（x+1）-ax2-bx=2x，
即2ax+a+b=2x（4分）
所以
所以f（x）=x2-x+1（16分）
（2）∵
当时，，（8分）
当x=-1时，ymax=3．（10分）
（3）∵g（x）=f（x-a）=x2-（2a+1）x+a2+a+1，x∈[-1，1]
对称轴为：
①当时，即：；如图：
g（x）max=g（-1）=a2+3a+3（13分）
②当时，即：；如图：
g（x）max=g（1）=a2-a+1（15分）
综上所述：（16分）
（注：分四种情况讨论的每种（1分），总结论2分）