Question

已知数列{a_n}的首项a₁=-1，∀n∈N₊，a_n+1=2a_n+2．
（1）求证：{a_n+2}是等比数列；
（2）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer

（1）根据等比数列的定义进行证明．（2）根据错误相减和分组求和的方法求数列的和．
【解析】
（1）（法一）依题意an+1+2=2an+2+2…（2分），an+1+2=2（an+2）…（3分），且a1+2=1≠0…（4分），所以，{an+2}是等比数列…（5分）
（法二）设cn=an+2…（1分），则an=cn-2，an+1=cn+1-2…（2分），
所以∀n∈N+，cn+1-2=2（cn-2）+2…（3分），cn+1=2cn，c1=1≠0…（4分），
所以，{cn}即{an+2}是等比数列…（5分）
（2）由（1）得…（6分），，…（7分），
设数列{bn}的前n项和为Sn，即
=[1×2+2×21+3×22+…+（n-1）×2n-2+n×2n-1]-2×（1+2+3+…+n）…（9分）
其中…（10分）
记，
则…（11分），
两式相减得…（12分）
所以…（13分）