Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y²=8x的焦点为F，椭圆Σ的中心在坐标原点，离心率，且F是椭圆Σ的一个焦点．
（1）求椭圆Σ的标准方程；
（2）过F作垂直于x轴的直线，与椭圆Σ相交于A、B两点，试探究在椭圆Σ上是否存在点P，使△PAB为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用抛物线的标准方程即可得出焦点F，再利用椭圆的离心率计算公式及其b2=a2-c2即可；
（2）由（1）得：x=2时，y=±3，不妨设A（2，3）、B（2，-3），分类讨论：
①若；②若，③若，分别解出即可．
【解析】
（1）依题意，设椭圆Σ的标准方程为（a＞b＞0），
∵2p=8，∴p=4，，F（2，0），c=2．
∴，∴a=4，b2=a2-c2=12，
所以椭圆Σ的标准方程为．
（2）由（1）得：x=2时，y=±3，不妨设A（2，3）、B（2，-3），
①若，则直线PA：y=3，解方程组
可得P1（-2，3），
②若，同理可得P2（-2，-3）），
③若，设P（x，y）（x≠2且|x|≤4），
∵AB垂直于x轴，∴PA、PB与坐标轴不平行，
∵kPA•kPB=-1，∴（x-2）2+y2=9，
又，消去变量y得x2-16x+28=0），解得x=2或x=14，
∵x≠2且|x|≤4，∴x=2或x=14均不满足要求，即椭圆Σ上不存在点P，使．
综上所述，点P的坐标为P1（-2，3），P2（-2，-3）．