Question

已知函数，a∈R是常数．
（1）若a=2，求这个函数的图象在x=1处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．

Answer

（1）求导函数，确定切线的斜率，从而可求曲线y=f（x）在x=1处切线的方程；
（2）依题意，x＞0，，下面对字母a进行分类讨论，求出函数的单调性与极值，再与端点函数值比较，即可得到函数f（x）在区间[1，e]上的最大值．
【解析】
（1）a=2时，，…（1分），
…（2分），
f′（1）=-1…（3分），
所求切线方程为，即2x+2y-3=0…（4分）
（2）依题意，x＞0，…（5分），
①a≤1时，因为x∈[1，e]，1≤x2≤e2，所以f′（x）≥0（等号当且仅当x=a=1时成立）…（6分），
所以f（x）在区间[1，e]单调递增，最小值为…（7分）
②a≥e2时，因为1≤x2≤e2，所以f′（x）≤0（等号当且仅当x=a=e2时成立）…（6分），
所以f（x）在区间[1，e]单调递减，最小值为…（9分）
③1＜a＜e2时，解得（负值舍去）…（10分），

x
f′（x） - +
f（x） ↘ 最小值 ↗

…（13分），（第2、3、4列每列1分）
f（x）在区间[1，e]上的最小值为．
综上所述，a≤1时，f（x）的最小值为；
1＜a＜e2时，f（x）的最小值为；
a≥e2时，f（x）的最小值为…（14分）．