Question

定义在区间[0，1]上的函数f（x）满足：f（0）=f（1）=0，且对任意的x₁，x₂∈[0，1]都有f（）≤f（x₁）+f（x₂）；
（1）证明：对任意的x∈[0，1]，都有f（x）≥0；
（2）求f（）的值．

Answer

（1）任取x1=x2=x∈[0，1]，依题意，对任意的x1，x2∈[0，1]都有f（）≤f（x1）+f（x2），可证得f（x）≥0；
（2）利用f（0）=f（1）=0，结合已知可求得f（）≤0，而由（1）的结果知f（）≥0，从而可得故f（）=0；同理可求得f（）=f（）的值．
（1）任取x1=x2=x∈[0，1]，则f（）≤f（x）+f（x），即f（x）≤2f（x），
∴f（x）≥0，
故对任意的x∈[0，1]都有f（x）≥0（6分）
（2）由f（0）=f（1）=0得f（）≤f（0）+f（1）=0+0=0，
于是f（）≤0，
又由（1）的结果知f（）≥0，
故f（）=0；
由f（）=0与f（1）=0
得f（）≤f（）+f（1）=0+0=0，
∴f（）≤0，又由（1）知f（）≥0，
故f（）=0．（12分）