Question

设f（x）=x²-ln（x+1）
（1）当x＞0时，求证：f（x）＜x³；
（2）当n∈N^*时，求证：．

Answer

（1）由题意，证明f（x）＜x3恒成立，可以构造函数h（x）=x2-ln（1+x）-x3，将证明不等式恒成立问题转化为函数h（x）＜0恒成立的问题，可利用导数求出函数的单调区间，确定出函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）的最小值，若最小值大于等于0，则可得2ln（1+x）≤x2+2x成立
（2）由（1）知，，即得到，
用放缩法，也可用数学归纳法证明．
【解析】
（1）令h（x）=x2-ln（1+x）-x3
则=，
当x＞0时，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减
又h（x）在x=0处连续，h（0）=0，
故当x＞0时，h（x）＜h（0）=0
即f（x）＜x3（7分）
（2）若k∈N*时，∴
取，得，
（10分）
用放缩法
当n=1时，成立，
当n≥2时，=
{}
=1+=
故得．（14分）