Question

列三角形数表
1-----------第一行
2    2-----------第二行
3   4    3-----------第三行
4   7    7   4-----------第四行
5   11  14  11   5
…
…
假设第n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）
（1）依次写出第六行的所有数字；
（2）归纳出a_n+1与a_n的关系式并求出a_n的通项公式．

Answer

（1）根据三角形数表，两侧数为从1开始的自然数列，中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和的规律写出来．
（2）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有an+1=an+n（n≥2），再由累加法求解．
【解析】
（1）第六行的所有6个数字分别是：
6，16，25，25，16，6；
（2）依题意an+1=an+n（n≥2），
a2=2an=a2+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）
=2+2+3+…+（n-1）=2+，
所以 an=n2-n+1．（n≥2）．