Question

已知f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
（1）求函数的单调区间；
（2）若x∈[1，3]时，f（x）＞1-4c²恒成立，求实数C的取值范围．

Answer

（1）先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=2取得极值，说明导函数在x=2时值为0，
再根据其图象在x=1处的切线斜率为-3，列出方程组即可求出a、b的值，进而可以求出函数的单调区间；
（2）可以求出函数在闭区间∈[1，3]上的最小值，这个最小值要大于1-4c2，解不等式可以得出实数c的取值范围．
【解析】
（1）由题意：f′（x）=3x2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为-3；
由已知 所以-----------------（3分）
所以由f′（x）=3x2-6x＞0得心x＜0或x＞2；
所以当x∈（0，2）时，函数单调递减；
当x∈（-∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．-----------------（6分）
（2）由（1）知，函数在x∈（1，2）时单调递减，在x∈（2，3）时单调递增；
所以函数在区间[1，3]有最小值f（2）=c-4要使x∈[1，3]，f（x）＞1-4c2恒成立
只需1-4c2＜c-4恒成立，所以c＜或c＞1．
故c的取值范围是{c|c或c＞1}-----------------（12分）