Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公比是正数的等比数列{b_n}的前n项和为T_n，已知a₁=1，b₁=3，a₂+b₂=8，T₃-S₃=15
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足对任意n∈N^*都成立；求证：数列{c_n}是等比数列．

Answer

（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q（q＞0），列关于d与q的方程组求得d与q，即可求得{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）由cn+2cn-1+…+（n-1）c2+nc1=2n+1-n-2向下递推一项可得cn-1+2cn-2+…+（n-2）c2+（n-1）c1=2n-（n-1）-2（n≥2），两式相减即可求得cn=2n-1（n≥3），再验证n=1，2时的情况即可，符合则合，不符合则分段写．
（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q（q＞0）
由题意得
 解得，
∴an=n，bn=3×2n-1；
（Ⅱ）由cn+2cn-1+…+（n-1）c2+nc1=2n+1-n-2
知cn-1+2cn-2+…+（n-2）c2+（n-1）c1=2n-（n-1）-2（n≥2）
两式相减：cn+cn-1+…+c2+c1=2n-1（n≥2）
∴cn-1+…+c2+c1=2n-1-1（n≥3）
∴cn=2n-1（n≥3）
当n=1，2时，c1=1，c2=2，适合上式．
∴cn=2n-1（n∈N*）．
即{cn}是等比数列