Question

已知函数f（x）是区间D⊆[0，+∞）上的增函数．若f（x）可表示为f（x）=f₁（x）+f₂（x），其中f₁（x）是D上的增函数，f₂（x）是D上的减函数，且函数f₂（x）的值域A⊆[0，+∞），则称函数f（x）的区间D上的“偏增函数”
（1）试说明y=sinx+cosx是区间（0，）上的“偏增函数”；
（2）记f₁（x）=x，f₂（x）=（a为常数），是判断f（x）=f₁（x）+f₂（x）是否是区间（0，1]上的“偏增函数”，若是，证明你的结论，若不是，请说明理由．

Answer

（1）记f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，利用辅助角公式化简得y=sinx+cosx=sin（x+），根据正弦函数的图象与性质得到函数y=sinx+cosx在区间（0，）上是增函数，再由f1（x）=sinx、f2（x）=cosx在区间（0，）上的单调性可得y=sinx+cosx是区间（0，）上的“偏增函数”；
（2）利用函数的单调性的定义，证出当a=1时f（x）=f1（x）+f2（x）=x+在区间（0，1]上是减函数，不符合“偏增函数”的定义，由此即可得到对于f1（x）=x和f2（x）=（a为常数），函数f（x）=f1（x）+f2（x）不是区间（0，1]上的“偏增函数”．
【解析】
（1）记f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，
得y=sinx+cosx=sin（x+）
设-+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z），得-+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z），
取k=0，得区间[-，]是y=sinx+cosx的一个递增区间，
故y=sinx+cosx是区间（0，）上是增函数
又∵f1（x）=sinx在区间（0，）上是增函数，f2（x）=cosx在区间（0，）上是减函数
∴在区间（0，）上y=sinx+cosx符合“偏增函数”的定义，即y=sinx+cosx是区间（0，）上的“偏增函数”；
（2）∵f1（x）=x，f2（x）=（a为常数），y=f（x）=f1（x）+f2（x）=x+
∴取a=1，得y=f（x）=f1（x）+f2（x）=x+
在区间（0，1]上取x1、x2，且x1＜x2，
得f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）+（-）
=（x1-x2）+=（x1-x2）（1-）
∵x1-x2＜0，由＞1得1-＜0，∴f（x1）-f（x2）＞0，得f（x1）＞f（x2）
因此，y=x+在区间（0，1]上是减函数，
∴当a=1时，f（x）=f1（x）+f2（x）不是区间（0，1]上的“偏增函数”
综上所述，对于f1（x）=x和f2（x）=（a为常数），函数f（x）=f1（x）+f2（x）不是区间（0，1]上的“偏增函数”．