Question

已知数列{a_n}满足：a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）
（1）若a₁=2，求数列{a_n}的前20项和S₂₀；
（2）若对任意的n∈N^*都有≥3成立，求a₁的取值范围；
（3）若数列{a_3n-2}（n∈N^*）为等差数列，求证：数列{a_n}为等差数列．

Answer

（1）S20=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）分组后，利用an+1+an=4n-3，求出每个括号的值，进行求和
（2））利用，化≥3为=，n≥3时≥3，.≥3恒成立，所以只要再n=1，2时，≥3成立即可．
（3）an+1+an=4n-3（n∈N*），∴an+2+an+1=4n+1，两式相减得出an+2-an=4．继而a2k+1-a2k-1=4．所以a2k-1=a1+（k-1）×4．①又由已知，a2k+a2k-1=4×（2k-1）-3，∴a2k=4k-3-a1②因为数列{a3n-2}（n∈N*）为等差数列，所以a3n-2=a1+（n-1）d③．利用特殊项，可以求得a2k-1=+（k-1）×4=4k-．a2k=4k-，即当n=2k-1时，an=2n-，当n=2k-1时，an=2n-，综上所述，an=2n-，an+1-an=2，数列{an}为等差数列．
【解析】
an+1+an=4n-3（n∈N*）
S20=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）
=（4×1-3）+（4×3-3）+…+（4×19-3）
=4×（1+3+…+19）-3×10
=4×-30
=370
（2）∵
又∵an+1+an=4n-3（n∈N*），
∴=，
n≥3时≥3，.≥3恒成立，
所以只要再n=1，2时，
≥3成立即可．
a1+a2=1，a3+a4=5，所以只要
解得
（3）∵an+1+an=4n-3（n∈N*），∴an+2+an+1=4n+1，
两式相减得出an+2-an=4．继而a2k+1-a2k-1=4．所以a2k-1=a1+（k-1）×4．①
又由已知，a2k+a2k-1=4×（2k-1）-3，∴a2k=4k-3-a1②
因为数列{a3n-2}（n∈N*）为等差数列，所以a3n-2=a1+（n-1）d③
在③中分别取n=2，3得到a4=a1+d，④a7=a1+2d，⑤
在②中取k=2，得a4=5-a1，⑥
在①中取k=4，a7=a1+12，⑦
由⑤⑦得d=6，带入④⑥得a1=，
代入①②分别得a2k-1=+（k-1）×4=4k-．a2k=4k-，即当n=2k-1时，an=2n-，当n=2k-1时，an=2n-，综上所述，an=2n-，an+1-an=2，数列{an}为等差数列．