Question

已知函数y=f（x）在R上是奇函数，而且在（0，+∞）是增函数．证明：
（1）f（0）=0；
（2）y=f（x）在（-∞，0）上也是增函数．

Answer

（1）根据奇函数性质列出关系式，将x=0代入即可求出f（0）的值；
（2）任取x1＜x2＜0，则-x1＞-x2＞0，根据f（x）在（0，+∞）是增函数列出关系式，再利用奇函数的性质化简，得到f（x1）＜f（x2），即可得证．
证明：（1）∵f（x） 在R上是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），
∴f（0）=0；
（2）任取x1＜x2＜0，则-x1＞-x2＞0，
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（-x1）＞f（-x2），
又f（x）在R上是奇函数，
∴-f（x1）＞-f（x2），即f（x1）＜f（x2），
∴函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．