Question

已知f（x）=lgx：
（1）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式，如从f（x）=lgx可抽象出性质：f=f（x₁）+f（x₂）．
对于下面两个具体函数，试分别抽象出一个与上面类似的性质：
由h（x）=2^x可抽象出性质为______，
由φ（x）=3x+1可抽象出性质为______．
（2）g（x）=f（x²+6x+4）-f（x），求g（x）的最小值．

Answer

（1）根据对数函数的性质可得h（x）满足h（x1+x2）=h（x1）•h（x2），根据一次函数的性质可得φ（x）满足φ（x1+x2）=φ（x1）+φ（x2）
（2）由已知中f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），求出函数g（x）的解析式，并分析函数的单调性，进而可得函数的最值．
【解析】
（1）h（x）满足h（x1+x2）=h（x1）•h（x2）------------------（2分）
φ（x）满足φ（x1+x2）=φ（x1）+φ（x2）----------------（4分）
故答案为：h（x1+x2）=h（x1）•h（x2），φ（x1+x2）=φ（x1）+φ（x2）（答案不唯一）
（2）g（x）=f（x2+6x+4）-f（x）=lg（x2+6x+4）-lgx
=-------------------（5分）
令，
任取0＜x1＜x2，

当0＜x1＜x2≤2时，h（x1）-h（x2）＞0，h（x1）＞h（x2），
当2≤x1＜x2时，h（x1）-h（x2）＜0，h（x1）＜h（x2），
h（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，--------------（8分）
故当x=2时，hmin（x）=4，这时gmin（x）=1．------------------（10分）