Question

已知y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0）的图象过点P（，0）图象上与点P最近的一个顶点是Q（，5）．
（1）求函数的解析式；
（2）指出函数的增区间；
（3）求使y≤0的x的取值范围．

Answer

（1）利用题意在求出A，通过周期求出ω，利用函数经过的特殊点求出φ，即可求函数的解析式；
（2）通过正弦函数的单调增区间直接函数的增区间；
（3）利用正弦函数的值域，求使y≤0的x的取值范围．
【解析】
（1）由函数图象过一个顶点是（，5）知A=5．
图象过点P（，0）图象上与点P最近的一个顶点是Q（，5）．
所以=-=，∴T=π，ω=2．
将Q（，5）代入y=5sin（2x+φ）得φ=-．
∴函数解析式为y=5sin（2x-）．                    （4分）
（2）由2kπ-≤2x-≤2kπ+．
得增区间为[kπ-，kπ+]．k∈Z． 
 函数的增区间：[kπ-，kπ+]．k∈Z．        （8分）
（3）因为y≤0
所以5sin（2x-）≤0     
可得 2kπ+π≤2x-≤2kπ+2π．
x∈[kπ+，kπ+π]．k∈Z．                         （12分）