Question

椭圆C₁的中心在原点，过点（0，），且右焦点F₂与圆C₂：（x-1）²+y²=的圆心重合．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过点F₂的直线l交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线l，使得以MN为直径的圆过椭圆的左焦点F₁？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用椭圆和圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）以MN为直径的圆过F1⇔．分类讨论直线l的斜率，当斜率存在时，把直线l的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用向量的数量积运算即可得出．
【解析】
（1）依题意得F2（1，0），∴c=1，又过点，∴b=．
因此a2=b2+c2=4．
故所求的椭圆C1 的方程为：．
（2）由（1）知F1（-1，0）．以MN为直径的圆过F1⇔．
①若直线l的斜率不存在．易知N （1，），M （1，-）．
==≠0，不合题意，应舍去．
②若直线l的斜率k存在，可设直线为y=k（x-1），M（x1，y1），N（x2，y2）．
=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2
=x1x2+x1+x2+k（x1-1）•k（x2-1）
=（1+k2）x1x2+（1-k2）（x1+x2）+1+k2（*）
联立 消去y得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．
∴， 代入（*）．
得：．
由得：．