Question

对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且对任意x₂∈D，当x₂∉[a，b]时，f（x₂）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
（Ⅰ）判断函数f₁（x）=|x-1|+|x-2|和f₂（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅱ）设f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；
（Ⅲ）若函数是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．

Answer

（1）对于函数f1（x）=|x-1|+|x-2|，欲判断其是否是“平底型”函数，只须f1（x）＞=1是否恒成立，利用去绝对值符号后即可证得；同理，对于函数f2（x）=x+|x-2|，也是如此验证．
（Ⅱ）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，则（|t-k|+|t+k|）min≥|k|•f（x）．故只须2|k|≥|k|•f（x）也即f（x）≤2最后即可解出实数x的范围．（Ⅲ）因为函数是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，则存在区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得恒成立．
所以x2+2x+n=（mx-c）2恒成立，得到关于m，n，c的方程，解出它们的值，最后通过验证g（x）是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数即可解决问题．
【解析】
（1）对于函数f1（x）=|x-1|+|x-2|，当x∈[1，2]时，f1（x）=1．
当x＜1或x＞2时，f1（x）＞|（x-1）-（x-2）|=1恒成立，故f1（x）是“平底型”函数．（2分）
对于函数f2（x）=x+|x-2|，当x∈（-∞，2]时，f2（x）=2；当x∈（2，+∞）时，f2（x）=2x-2＞2，所以不存在闭区间[a，b]，使当x∉[a，b]时，f（x）＞2恒成立．
故f2（x）不是“平底型”函数．（4分）
（Ⅱ）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，则（|t-k|+|t+k|）min≥|k|•f（x）．
因为（|t-k|+|t+k|）min=2|k|，所以2|k|≥|k|•f（x）．又k≠0，则f（x）≤2．（6分）
因为f（x）=|x-1|+|x-2|，则|x-1|+|x-2|≤2，解得．
故实数x的范围是．（8分）
（Ⅲ）因为函数是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，则
存在区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得恒成立．
所以x2+2x+n=（mx-c）2恒成立，即．解得或．（10分）
当时，g（x）=x+|x+1|．
当x∈[-2，-1]时，g（x）=-1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
此时，g（x）是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数．（11分）
当时，g（x）=-x+|x+1|．
当x∈[-2，-1]时，g（x）=-2x-1≥1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=1．
此时，g（x）不是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数．（12分）
综上分析，m=1，n=1为所求．（13分）