要使函数f(x)=ax2+2x+1对任意x∈[1,+∞),都有f(x)>0恒成立,a有可能等于0或大于0,然后分这两种情况讨论,a=0时为一次函数,显然成立;a>0时,又分判别式小于0和大于等于0两种情况,特别是判别式大于0时,需借助于二次函数的对称轴及f(1)的符号列式求解.
【解析】
当a=0时,函数f(x)=ax2+2x+1化为f(x)=2x+1,满足对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立;
当a≠0时,要使对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,
则①
或,即②
解①得,a>1.
解②得,0<a≤1.
综上,对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立的实数a的取值范围是a≥0.
故答案为a≥0.