Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是A₁B₁，CD的中点．
（1）求二面角E-AF-B的大小； 
（2）求点B到面AEF的距离．

Answer

（1）作EM⊥AB于M，则M为AB中点，过M作MO⊥AF于点O，连接EO，易证∠EOM即为二面角E-AF-B的平面角，由sin∠MAO=cos∠DAF=可求sin∠MAO，在Rt△MOA中，OM=AM•sin∠MAO可求OM，在Rt△EMO中，tan∠EOM=，由此可求角∠EOM；
（2）等积法：设点B到面AEF的距离为d，由VB-AEF=VE-ABF，得，两三角形面积易求，从而可解d；
【解析】
（1）作EM⊥AB于M，则M为AB中点，过M作MO⊥AF于点O，连接EO，
如右图所示：
由三垂线定理知AF⊥OE，
∴∠EOM即为二面角E-AF-B的平面角，
sin∠MAO=cos∠DAF==，
在Rt△MOA中，OM=AM•sin∠MAO=×=，
在Rt△EMO中，tan∠EOM=，
所以∠EOM=arctan，
故二面角E-AF-B的大小为arctan；
（2）连接BE、BF，设点B到面AEF的距离为d，
AE==，AF==，
连接EM，FM，则EF==，
可知△AEF为等腰三角形，边EF上的高h==，
由VB-AEF=VE-ABF，得，即=，
解得d=，即点B到面AEF的距离为．