Question

已知斜三棱柱侧棱与底面边长均为2，侧棱与底面所成的角为60°，且侧面ABB₁A₁与底面垂直．
（1）求异面直线B₁C与C₁A所成的角；
（2）求此斜三棱柱的表面积．

Answer

（1）取AB中点D，连结BC1，交B1C于点O，连结OD、B1D．由平行四边形形的性质和三角形中位线定理，证出∠COD（或补角）是异面直线B1C与C1A所成的角．结合题中数据算出△COD的三边之长，再利用余弦定理即可算出异面直线B1C与C1A所成的角大小；
（2）根据余弦定理解三角形，算出cos∠ACC1=-，从而得到sin∠ACC1=，可得S=．同样的方法算出S=，结合S=2和S△ABC=S=，即可求出此斜三棱柱的表面积．
【解析】
（1）取AB中点D，连结BC1，交B1C于点O，连结OD、B1D
∵平行四边形BCC1B1的对角线交点为O，
∴O为BC1的中点，可得OD是三角形ABC1的中位线
∴OD∥AC1，∠COD（或补角）是异面直线B1C与C1A所成的角
∵平面ABC⊥侧面ABB1A1，平面ABC∩侧面ABB1A1=AB
正三角形ABC中，CD⊥AB
∴CD⊥侧面ABB1A1，
∵CD=AB=，B1D==
可得Rt△CDB1中，B1C==，得C0==D0
∴△COD中由余弦定理，得cos∠COD==
因此，异面直线B1C与C1A所成的角为arccos；
（2）由（1）得AC1=2D0=，从而算出cos∠ACC1==-
∴sin∠ACC1=，可得S=CC1•ACcsin∠ACC1=
同理算出S=
又∵S=A1A•ABsin60°=2，S△ABC=S==
∴此斜三棱柱的表面积为
S=S+S+S+S△ABC+S=2+4．