Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，高为h（h＞3），点M在侧棱BB₁上移动，并且M到底面ABC的距离为x，且AM与侧面BCC₁B₁所成的角为α．
（1）若α在区间上变化，求x的变化范围； 
（2）若α为，求AM与BC所成角的余弦值．

Answer

（1）设BC的中点为D，连接AD、DM，根据题意BB1⊥平面ABC，由线面垂直的判定与性质证出AD⊥平面BB1CC1，从而得到∠AMD即为AM与侧面BCC1所成角．然后在Rt△ADM中，设BM长为x，利用三角函数的定义建立tanα关于x的函数关系式，结合α∈解关于x的不等式，即可得到点M到平面ABC的距离的取值范围；
（2）由（1）的结论算出BM=．然后采用向量法：将化成+，求出•并利用夹角公式算出、夹角的余弦值，最后结合异面直线所成角的范围即可求出AM与BC所成角的余弦值．
【解析】
（1）设BC的中点为D，连接AD、DM，则
∵△ABC为正三角形，D为AC中点，∴AD⊥BC，
∵BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1 
∵BB1、BC是平面BB1C1C内的相交直线，∴AD⊥平面BB1CC1．
因此，∠AMD即为AM与侧面BCC1所成角α．
∵点M到平面ABC的距离为BM，设BM=x，x∈（0，h）．
在Rt△ADM中，tan∠AMD=．
由AD=，DM==，得tanα=．
∵α∈时，tanα∈[，1]
∴≤≤1，化简得3≤1+4x2≤9，解得≤x2≤2．
因此，点M到平面ABC的距离x的取值范围是[，]；
（2）当α=时，由（1）得BM=，
故可得DM=，AM==．
设与的夹角为θ．
∵•=（+）•=•+•=1×1×cos120°+0=-．
∴cos＜，＞===-
∵AM与BC所成角，
∴cosθ=，即AM与BC所成角的余弦值．