Question

如图，棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A，A₁B，A₁C都与平面ABC所成的角相等，∠CAB=90°，AC=AB=A₁B=a，D为BC上的点，且A₁C∥平面ADB₁．求：
（Ⅰ）A₁C与平面ADB₁的距离；
（Ⅱ）二面角A₁-AB-C的大小；
（Ⅲ）AB₁与平面ABC所成的角的大小．

Answer

解法一：
（1）求直线到平面的距离的距离通常可以转化成点到平面的距离．根据三棱柱的结构特征可证明：A1E⊥平面ADE，所以A1E为点A1到平面ADE的距离，即A1C与平面ADB1的距离；
（2）二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理．因为棱柱ABC-A1B1C1中，A1A，A1B，A1C都与平面ABC所成的角相等，∠CAB=90°，AC=AB=A1B=a，D为BC上的点，则A1D⊥平面ABC，过D作DG⊥AB，连A1G，则A1G⊥AB，∠A1DG为二面角A1-AB-C的平面角．
（3）直线与平面所成的角，首先要找出垂直于平面的直线，取BD中点F，连EF∥A1D，又由（1）可知：A1D⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC，连AF，则∠EAF为A1B与平面ABC所成的角．
解法二：（向量法）
分别以AB、AC为x、y轴，平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）B（a，0，0），C（0，a，0），连A1B，由条件知，△A1AB和△A1AC均为等边△且边长为a，所以∠A1AB=∠A1AC=60°，设A（x，y，z），根据余弦定理可得：．这种解法的好处就是（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（1）求A1C与平面ADB1的距离，可设面ADB1的法向量，取，设A1C面ADB1的距离为d，则．
（2）平面ABC的一个法向量为，设平面A1AB的法向量为，则这两个法向量的夹角的大小即为二面角A1-AB-C的大小．
（3）由（2）可知：AB1与平面ABC所成的角的大小即为平面ABC的一个法向量与的夹角的大小．
【解析】
（I）设A1B与AB1的交点为E，连DE
∵A1C∥平面ADE，
∴A1C∥DE且A1C到平面ADE的距离等于点A1到平面ADE的距离
又∵△CA1B≌△CAB，
∴∠CA1B=90°，
即CA1⊥A1B
∴A1E⊥ED，又A1E⊥AE
∴A1E⊥平面ADE
∴A1E为点A1到平面ADE的距离，又
∴A1C到平面ADB的距离等于
（Ⅱ）∵A1ABB1为平行四边形，
∴A1E=EB，又A1C∥DE
∴D为BC中点
∵A1A，A1B，A1C与平面ABC所成角相等
∴A1A=A1B=A1C，
∴点A1在平面ABC的射影为Rt△ABC的外心，
又RtABC外心为斜边中点D，连A1D，则A1D⊥平面ABC
过D作DG⊥AB，连A1G，
则A1G⊥AB，∠A1DG为二面角A1-AB-C的平面角
∵DG∥CA，
∴DG=，
即二面角A1-AB-C的大小为
（Ⅲ）取BD中点F，连EF∥A1D，
∵A1D⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，连AF，
则∠EAF为A1B与平面ABC所成的角
在Rt△ADA1中，，
∴，
即AB1与平面ABC所成的角为
解法二：（向量法）建立如图坐标系，则A（0，0，0）B（a，0，0），C（0，a，0）
连A1B，由条件知，△A1AB和△A1AC均为等边△且边长为a，
∴∠A1AB=∠A1AC=60°，设A（x，y，z），
则
由
同理得
∴
（I）A1C∥面ADB1，
∵A1C∥ED，又E为A1B中点，
∴D为BC中点，
∴D，
设面ADB1的法向量
则
取
设A1C面ADB1的距离为d，则
（Ⅱ）平面ABC的一个法向量为，
设平面A1AB的法向量为
则，
取
设，则
即二面角A1-AB-C的大小为
（Ⅲ）设AB1与平面ABC所成角为θ2，
则
∴，
即AB1与平面ABC所成角为