Question

已知函数f（x）=x²-cosx，对于[-，]上的任意x₁，x₂，有如下条件：①x₁＞x₂；②x₁²＞x₂²；③|x₁|＞x₂；④x₁＞|x₂|．其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件序号是    ．

Answer

利用导数可以判定其单调性，再判断出奇偶性，即可判断出结论．
【解析】
∵f′（x）=2x+sinx，
∴当x=0时，f′（0）=0；当时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；当时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增．
∴函数f（x）在x=0时取得最小值，f（0）=0-1=-1．
∵∀x∈[-，]，都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数．
根据以上结论可得：
①当x1＞x2时，则f（x1）＞f（x2）不成立；
②当x12＞x22时，得|x1|＞|x2|，则f（|x1|）＞f（|x2|）⇔f（x1）＞f（x2）恒成立；
③当|x1|＞x2时，则f（x1）=f（|x1|）＞f（x2）恒成立；
④x1＞|x2|时，则f（x1）＞f（|x2|）=f（x2）恒成立．
综上可知：能使f（x1）＞f（x2）恒成立的有②③④．
故答案为②③④．