Question

已知直线y=-x+1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）若OA⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e=时，求椭圆长轴的长．

Answer

（1）利用椭圆的离心率公式求出椭圆中的参数a，利用椭圆中三个参数的关系求出b，代入椭圆的方程求出椭圆的标准方程．
（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理求出两个交点的横、纵坐标之积；利用向量垂直的充要条件，得到椭圆的三个参数的一个等式，再利用椭圆的三个参数本身的关系得到参数a与离心率的关系，利用离心率得到椭圆的长轴长．
【解析】
（1）∵e=，即 =．又2c=2，解得a=，
则b==．
（2）由 消去y得（a2+b2）•x2-2a2x+a2•（1-b2）=0，
由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0，整理得a2+b2＞1．
设A（x1，y1，），B（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=．
∴y1y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1x2-（x1+x2）+1．
∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），
∴x1x2+y1y2=0，即2x1x2-（x1+x2）+1=0．
∴-+1=0．整理得a2+b2-2a2b2=0．
∵b2=a2-c2=a2-a2e2，代入上式得
2a2=1+，
∴a2=（1+）．
∵e=，∴（1+）=，
∴a=，
由此得 椭圆长轴的长．