Question

已知圆C₁：x²+y²=4与直线l：3x+4y-5=0交于A，B两点，若圆C₂的圆心在线段AB上，且圆C₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧上，则圆C₂的最大面积为为    ．

Answer

先根据圆C1的方程找出圆心坐标与半径R的值，找出圆C2的半径的最大时的情况：当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大．求r的方法是，联立直线与圆的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出Q的横坐标，把Q的横坐标代入直线方程即可求出Q的纵坐标，得到Q的坐标，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离OQ等于d，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆C2的半径最大值．
【解析】
由圆C1：x2+y2=4，可得圆心O（0，0），半径R=2
如图，当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大．
联立直线与圆的方程得，消去y得到25x2-30x-39=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，所以线段AB的中点Q的横坐标为，把x=代入直线方程中解得y=，
所以Q（，），则两圆心之间的距离OQ=d==1，
因为两圆内切，所以圆c2的最大半径r=R-d=2-1=1，
则圆C2的最大面积为为π．
故答案为：π