Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点均在函数y=-x+12的图象上．
（Ⅰ）写出S_n关于n的函数表达式；
（Ⅱ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅲ）求数列{|a_n|}的前n项的和．

Answer

（I）根据点均在函数y=-x+12的图象上，则点的坐标适合方程，代入方程即可求出Sn关于n的函数表达式；
（II）当n≥2时，根据an=Sn-Sn-1求出通项，验证首项即可；
（III）由（Ⅱ）知，a1，a2，…a6＞0，数列{an}从第7项起均为负数，然后讨论n与6的大小，利用分段函数表示数列{|an|}的前n项的和．
解 （Ⅰ）由题设得，即Sn=n（-n+12）=-n2+12n．
（Ⅱ）当n=1时，an=a1=S1=11；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（-n2+12n）-（-（n-1）2+12（n-1））=-2n+13；
由于此时-2×1+13=11=a1，从而数列{an}的通项公式是an=-2n+13．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a1，a2，…a6＞0，数列{an}从第7项起均为负数．设数列{|an|}的前n项的和为Tn．
当n≤6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+12n；
当n≥7时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a6-a7-…-an
=（a1+a2+…+a6）-（a7+…+an）
=2（a1+a2+…+a6）-（a1+a2+…+a6+a7+…+an）
=2S6-Sn=n2-12n+72．
所以数列{|an|}的前n项的和为．