Question

已知函数f（x）=-alnx（a∈R）．
（1）求函数f （x）的单调区间；
（2）求证：x＞1时，．

Answer

（1）先求函数的导数，利用导数确定函数的单调区间．
（2）构造函数，利用导数求函数g（x）的最值，然后去证明不等式．
【解析】
（1）依题意知函数的定义域为（0，+∞），因为，
①当a≤0时，，所以f （x）的单调递增区间为（0，+∞）
②当a＞0时，因为，
令f'（x）＞0，有；所以函数f （x）的单调递增区间为（，+∞）；
令f'（x）＜0，有．所以函数f （x）的单调递减区间为．
（2）设，则，
当x＞1时，，
所以g （x）在（1，+∞）上是增函数，所以
所以当x＞1时，成立．