Question

设函数f（x）=2^x+a•2^-x-1（a为实数）．
（1）若a＜0，用函数单调性定义证明：y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）若a=0，y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，求函数y=g（x）的解析式．

Answer

（1）根据题意，对任意实数x1＜x2，f（x1）-f（x2）与0的关系，化简可得f（x1）-f（x2）＜0，，则为增函数；
（2）当a=0，y=f（x）=2x-1，因y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，可得到y=g（x）的解析式．
【解析】
（1）设任意实数x1＜x2，则==
∵；
∵．
又，所以f（x1）-f（x2）＜0，所以f（x）是增函数．
（2）当a=0时，y=f（x）=2x-1，所以2x=y+1，所以x=log2（y+1），y=g（x）=log2（x+1）．