Question

二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），满足f（x+1）为偶函数，且方程f（x）=x有相等实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[m，m+1]上的最大值．

Answer

（1）由f（x+1）为偶函数，得f（-x+1）=f（x+1），且f（x）=x有相等实根，可得a、b的值；
（2）因f（x）的图象是抛物线，讨论对称轴在[m，m+1]内，还是在[m，m+1]左，右？根据单调性可求得f（x）在[m，m+1]上的最值．
【解析】
（1）∵f（x+1）为偶函数，
∴f（-x+1）=f（x+1），即a（-x+1）2+b（-x+1）=a（x+1）2+b（x+1），整理，得2a+b=0①；
又∵f（x）=x有相等实根，即ax2+bx=x有相等实根，
∴b=1，从而解得a=-；
∴f（x）=-x2+x；
（2）∵f（x）=-x2+x的图象是抛物线，且开口向下，对称轴是x=1；
∴当m+1≤1，即m≤0时，f（x）在[m，m+1]上是增函数，
∴f（x）max=f（m+1）=-m2+；当，即0＜m＜1时，在[m，m+1]上先增或减，
∴f（x）max=f（1）=；当m≥1时，在[m，m+1]上是减函数，
∴f（x）max=f（m）=-m2+m；
综上，知f（x）在[m，m+1]上的最大值是：当m≤0时，f（x）max=-m2+；当0＜m＜1时，f（x）max=；当m≥1时，f（x）max=-m2+m．