Question

已知函数f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为，且对任意的a，β∈R，恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足，求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，在（2）的条件下，若数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n•cos（b_nπ）}的前n项和T_n．

Answer

（1）由不等式的解集设出f（x）+2的两根式，对角α，β取特值后得到f（1）=1，由此可取函数f（x）的解析式；
（2）求出f（an+1），f（an），代入已知的等式中化简得到数列{}为等差数列，求出数列{}的通项公式后可求数列{an}的通项公式；
（3）由，求出cos（bnπ），然后分n为偶数和奇数讨论求解数列{Sn•cos（bnπ）}的前n项和Tn．
【解析】
（1）设f（x）+2=，即．
取，代入f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0，则f（1）≤0，f（1）≥0同时成立，
故f（1）=0，解得a=，故；
（2）∵=．
∴3=．
即．故数列{}为等差数列．
∵，∴，；
（3）∵bn=3n-2，∴
即，∴．
①当n为偶数时，Tn=（-S1+S2）+（-S3+S4）+…+（-Sn-1+Sn）
=．
②当n为奇数时，
．
综上，．