Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D为CC₁的中点，AB₁与A₁B相交于点O，连接OD．
（1）求证：OD∥平面ABC；
（2）求证：AB₁⊥平面A₁BD．

Answer

（1）欲证OD∥平面ABC，根据平面与平面平行的性质定理可知只需证平面OED与平面ABC平行，取BB1的中点E，连接ED，EO，OE∥平面ABC，同理DE∥平面ABC，又OE∩DE=E，而OD⊂平面OED，满足定理所需条件；
（2）欲证AB1⊥平面A1BD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB1与平面A1BD内两相交直线垂直，而AB1⊥A1B，AB1⊥DO，A1B∩DO=O，满足定理所需条件．
证明：（1）取BB1的中点E，连接ED，EO，
则OE∥AB，又OE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴OE∥平面ABC，同理DE∥平面ABC
又OE∩DE=E∴平面OED∥平面ABC
而OD⊂平面OED，∴OD∥平面ABC

（2）连B1D，AD，∵ABB1A1是正方形，∴AB1⊥A1B
∵正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D为CC1的中点，
∴Rt△ACD≌Rt△B1C1D，∴A1D=BD
又O是AB1的中点，∴AB1⊥DO，
∵A1B∩DO=O∴AB1⊥平面A1BD