Question

已知函数f（x）=．
（1）当x∈[-2，2]时，求使f（x）＜a恒成立的a的取值范围；
（2）若方程x²-2ax-1=0的两根为α，β，证明：函数f（x）在[α，β]上是单调函数．

Answer

（1）由f（x）＜a得，分离出参数a后转化为求函数的最值即可，由g（x）的符号变化规律可知只需求g（x）在x∈（0，2]的最大值，利用单调性可求；
（2）定义法：设α≤x1＜x2≤β，则，两式相加可得，利用作差法可证明f（x2）＞f（x1）；
【解析】
（1）由f（x）＜a得，即4x-4a＜ax2+4a，
∴时恒成立．      
设，
由于x=0时，g（x）=0；x∈[-2，0）时，g（x）＜0；x∈（0，2]时，g（x）＞0，
故求函数在x∈[-2，2]上的最大值，只需求g（x）在x∈（0，2]的最大值，
由，可证明在x∈（0，2]上是减函数，
当x=2时y=x+取得最小值，g（x）取得最大值为，
∴．           
（2）设α≤x1＜x2≤β，则，
∴，
则，
又a（x1+x2）-x1x2+4＞a（x1+x2）-x1x2+1＞0，
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．