Question

如图，已知二次函数y=x²-2x-1的图象的顶点为A．二次函数y=ax²+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y=x²-2x-1的图象的对称轴上．
（1）求点A与点C的坐标；
（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax²+bx的关系式．

Answer

（1）配方可得顶点A的坐标，又可得所以点C和点O关于已知二次函数图象的对称轴l对称，可得C的坐标；
（2）由题意可得，解之可得a、b的值，可得所求．
【解析】
（1）配方可得y=x2-2x-1=（x-1）2-2，所以顶点A的坐标为（1，-2）．…（2分）
因为二次函数y=ax2+bx的图象经过原点，且它的顶点在二次函数y=x2-2x-1图象的对称轴l上，
所以点C和点O关于直线l对称，所以点C的坐标为（2，0）．…（6分）
（2）因为四边形AOBC是菱形，所以点B和点A关于直线OC对称，因此，点B的坐标为（1，2）…（9分）
因为二次函数y=ax2+bx的图象经过点B（1，2），C（2，0），
所以，解得…（13分）
所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x．（14分）