Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：
①当x∈R时，函数的最小值为0，且f（-1+x）=f（-1-x）成立；
②当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．求：
（1）f（1）的值；
（2）函数f（x）的解析式；
（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在t∈R，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立．

Answer

（1）由当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立可得f（1）=1；
（2）由f（-1+x）=f（-1-x）可得二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=-1，于是b=2a，再由f（x）min=f（-1）=0，可得c=a，从而可求得函数f（x）的解析式；
（3）可由f（1+t）≤1，求得：-4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m．
【解析】
（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立，
∴1≤f（1）≤2|1-1|+1=1，
∴f（1）=1；
（2）∵f（-1+x）=f（-1-x），
∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=-1，
∴-=-1，b=2a．
∵当x∈R时，函数的最小值为0，
∴a＞0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=-1，
∴f（x）min=f（-1）=0，
∴a=c．
∴f（x）=ax2+2ax+a．又f（1）=1，
∴a=c=，b=．
∴f（x）=x2+x+=（x+1）2．
（3）∵当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立，
∴f（1+t）≤1，即（1+t+1）2≤1，解得：-4≤t≤0．
而y=f（x+t）=f[x-（-t）]是函数y=f（x）向右平移（-t）个单位得到的，
显然，f（x）向右平移的越多，直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标越大，
∴当t=-4，-t=4时直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标最大．
∴（m+1-4）2≤m，
∴1≤m≤9，
∴mmax=9．