Question

已知函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R．
（1）求该函数的单调增区间；
（2）求该函数的最大值及对应的x的值；
（3）求该函数的对称轴方程与对称中心坐标．

Answer

（1）利用二倍角公式，降次升角，以及两角和的正弦函数，化简函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x为y=，利用正弦函数的单调增区间，求该函数的单调增区间；
（2）利用正弦函数的最值以及取得最值时的x值，直接求该函数的最大值及对应的x的值；
（3）利用正弦函数的对称轴和对称中心，直接求该函数的对称轴方程与对称中心坐标．
【解析】
y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=
=sin2x+cos2x+2=．（5分）
（1）由，得．
所以函数的单调增区间为（8分）
（2）令，得，
所以当时，．（12分）
（3）由，得，
所以该函数的对称轴方程为．
由，得，
所以，该函数的对称中心为：．（16分）