Question

如图，在四边形ABCD中，R），，，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．求：
（1）λ的值；
（2）的值．

Answer

（1）由题意可知且△ABD是三边分别为2，2，的等腰三角形，利用已知条件可得∠ABD=30°，从而可得∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°，解直角三角形可得λ
（2）由（1）知，∠ABC=60°，||=4，从而可得的夹角120，代入向量的数量积公式，即可．
（1）因为，所以BC∥AD，且．（2分）
因为，所以．
又，所以．（5分）
作AH⊥BD于H，则H为BD的中点．
在Rt△AHB中，得，于是∠ABH=30°．
所以∠ADB=∠DBC=30°．
而∠BDC=90°，所以BD=BCcos30°，即，解得λ=2．（10分）
（2）由（1）知，∠ABC=60°，|
所以与的夹角为120°．
故．（14分）