Question

已知函数f（x）=log₉（9^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求b的取值范围；
（3）设，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）因为f（x）为偶函数所以f（-x）=f（x）代入求得k的值即可；
（2）函数与直线没有交点即无解，即方程log9（9x+1）-x=b无解．令g（x）=log9（9x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．推出g（x）为减函数得到g（x）＞0，所以让b≤0就无解．
（3）函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，即联立两个函数解析式得到方程，方程只有一个解即可．
【解析】
（1）因为y=f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（-x）=f（x），
即log9（9-x+1）-kx=log9（9x+1）+kx对于∀x∈R恒成立．
即恒成立
即（2k+1）x=0恒成立，
而x不恒为零，所以．
（2）由题意知方程即方程log9（9x+1）-x=b无解．
令g（x）=log9（9x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
因为
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则，从而．
于是，即g（x1）＞g（x2），
所以g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．
因为，所以．所以b的取值范围是（-∞，0]．
（3）由题意知方程有且只有一个实数根．
令3x=t＞0，则关于t的方程（记为（*））有且只有一个正根．
若a=1，则，不合，舍去；
若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．
由或-3；但，不合，舍去；而；
方程（*）的两根异号⇔（a-1）•（-1）＜0，即-a+1＜0，解得：a＞1．
综上所述，实数a的取值范围{-3}∪（1，+∞）．