Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：AB⊥AC₁；
（Ⅱ）证明：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）求二面角M-AN-B的余弦值．

Answer

（Ⅰ）要证明：AB⊥AC1，只要证明AB垂直平面ACC1A1内的两条相交直线AC和A1A，即可证明AB⊥平面ACC1A1，从而证明AB⊥AC1．
（Ⅱ）设AC的中点为D，连接DN，A1D，只要证明A1D∥MN，即可证明MN∥平面ACC1A1；
（Ⅲ）法一：作出二面角M-AN-B的平面角，通过解三角形可求二面角M-AN-B的余弦值．
法二：建立空间直角坐标系，利用向量的数量积，求解二面角M-AN-B的余弦值．
解法一：
（Ⅰ）证明：因为CC1⊥平面ABC，
所以AC是AC1在平面ABC内的射影，（2分）
由条件可知AB⊥AC，
所以AB⊥AC1．（4分）
（Ⅱ）证明：设AC的中点为D，
连接DN，A1D．

因为D，N分别是AC，BC的中点，
所以DN平行等于AB．
又A1M=A1B1，A1B1平行等于AB，
所以A1M平行等于DN．
所以四边形A1DNM是平行四边形．
所以A1D∥MN．（7分）
因为A1D⊂平面ACC1A1，MN⊂平面ACC1A1，
所以MN∥平面ACC1A1．（9分）
（Ⅲ）如图，设AB的中点为H，连接MH，
所以MH∥BB1．

因为BB1⊥底面ABC，
所以MH⊥底面ABC．
在平面ABC内，过点H做HG⊥AN，垂足为G．
连接MG，则MG⊥AN．
所以∠MGH是二面角M-AN-B的平面角．（12分）
因为MH=BB1=2，
由△AGH∽△BAC，得HG=．
所以MG==．
所以cos∠MGH==．
二面角M-AN-B的余弦值是．（14分）
解法二：
依条件可知AB，AC，AA1两两垂直．
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz．

根据条件容易求出如下各点坐标：
A（0，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1（-1，0，2），M（0，1，2），．
证明：（Ⅰ）：因为，，
所以=0×（-1）+2×0+0×2=0．（2分）
所以．
即AB⊥AC1．（4分）
（Ⅱ）证明：因为，是平面ACC1A1的一个法向量，
且=，所以．（7分）
又MN⊄平面ACC1A1，
所以MN∥平面ACC1A1．（9分）
（Ⅲ）设n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，
因为，，
由得解得平面AMN的一个法向量n=（4，2，-1）．
由已知，平面ABC的一个法向量为m=（0，0，-1）．（12分）
设二面角M-AN-B的大小为θ，则==．
二面角M-AN-B的余弦值是．（14分）