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高中数学试题
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数列{an}满足:an+1=3an-3an2,n=1,2,3,…, (Ⅰ)若数列...
数列{a
n
}满足:a
n+1
=3a
n
-3a
n
2
,n=1,2,3,…,
(Ⅰ)若数列{a
n
}为常数列,求a
1
的值;
(Ⅱ)若
,求证:
;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求证:数列{a
2n
}单调递减.
(Ⅰ)由题意知an+1=an,,由此可推导出a=0,或. (Ⅱ)用数学归纳法证明. (Ⅲ)因为a2n-a2n-2=3(3a2n-2-3a2n-22)-3(3a2n-2-3a2n-22)2-a2n-2=-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2(n≥2), 所以只要证明-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2<0,然后用分析法能够证明数列{a2n}单调递减. 【解析】 (Ⅰ)因为数列{an}为常数列, 所以an+1=an,, 解得an=0或, 由n的任意性知,a1=0或, 所以a=0,或; (Ⅱ)用数学归纳法证明, 1当n=12时,3,符合上式, ②假设当n=k(k≥1)时,, 因为, 所以, 即, 从而, 即, 因为, 所以,当n=k+1时,成立, 由①,②知,; (Ⅲ)因为a2n-a2n-2=3(3a2n-2-3a2n-22)-3(3a2n-2-3a2n-22)2-a2n-2=-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2(n≥2), 所以只要证明-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2<0, 由(Ⅱ)可知,a2n-2>0,所以只要证明-27a2n-23+54a2n-22-36a2n-2+8<0, 即只要证明27a2n-23-54a2n-22+36a2n-2-8>0, 令f(x)=27x3-54x2+36x-8, f'(x)=27×3x2-54×2x+36=9(9x2-12x+4)=9(3x-2)2≥0, 所以函数f(x)在R上单调递增, 因为,所以, 即27a2n-23-54a2n-22+36a2n-2-8>0成立, 故a2n<a2n-2, 所以数列{a2n}单调递减.
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考点分析:
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