Question

数列{a_n}首项a₁=1，前n项和S_n满足等式2tS_n-（2t+1）S_n-1=2t（常数t＞0，n=2，3，4…）
（1）求证：{a_n}为等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}使（n=2，3，4…），求数列{b_n}的通项公式．
（3）设c_n=nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由2tSn-（2t+1）Sn-1=2t，得2tSn+1-（2t+1）Sn=2t，两式相减可得n≥2时的递推式，注意验证是否适合；
（2）由（1）可知f（t），由题意可得数列{bn}的递推式，根据递推式可判断其为等比数列，根据等比数列通项公式可得其通项；
（3）表示出cn，然后利用错位相减法可求得Tn．
（1）证明：由2tSn-（2t+1）Sn-1=2t，得2tSn+1-（2t+1）Sn=2t，
两式相减得2t（Sn+1-Sn）-（2t+1）（Sn-Sn-1）=0，
故n≥2时，2tan+1-（2t+1）an=0，
从而，
又2tS2-（2t+1）S1=2t，即2t（a1+a2）-（2t+1）=2t，而a1=1．
从而，故，
∴对任意n∈N*，为常数，即{an}为等比数列；
（2）【解析】
，，
又b1=1．故{bn}为等比数列，通项公式为；
（3）【解析】
，
，
两边同乘以，得，
两式相减得，
∴．