Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-x+b最多只有一个交点；
（2）若方程f（x）=log₄有且只有一个解，求实数a的取值范围．

Answer

（1）利用偶函数的定义即可求得k的值，利用函数单调性的定义即可得出证明；
（2）把问题等价转化，利用分类讨论的思想方法即可得出a的取值范围．
【解析】
（1）∵函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
∴+kx，
∴，
化为x=-2kx，对一切x∈R恒成立，解得．
由题意可知：只要证明函数f（x）+=在定义域R上单调即可．
∵函数y=4x与y=x在R单调递增，∴函数在R上单调递增．
因此对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-x+b最多只有一个交点；
（2）若方程f（x）=log4（a•2x-）有且只有一个解，
即，化为，即此方程有且只有一个解．
令t=2x＞0，上述问题化为方程有且只有一个正根．
①若a=1，解得，不合题意，应舍去；
②a≠1，由△=0，解得或-3．
当时，t=-2不合题意，应舍去；当a=-3时，，满足题意．
③若a≠1，△＞0，且方程有一个正根和一个负根时，，解得a＞1．
综上a的取值范围是{-3}∪（1，+∞）．