Question

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是边长为1的正方形，ABEF是矩形，且AF=，G是线段EF的中点．
（Ⅰ）求证：AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）求直线BE与平面ACG所成角的正弦值的大小．

Answer

（Ⅰ）由题意可以A为坐标原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标及向量的坐标，由和的数量积等于0，和的数量积等于0证明线线垂直，从而得到线面垂直；
（Ⅱ）求出平面ACG的一个法向量，利用与平面法向量所成角的余弦值求得直线BE与平面ACG所成角的正弦值的大小．
（I）证明：如图，

以A为坐标原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系．
A（0，0，0），G（，，0），C（0，1，1），B（0，1，0）
，，
∴AG⊥BG，AG⊥BC，∴AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）【解析】
法一、
设面ACG的法向量为=（x，y，z）
则•=x+y=0
•=y+z=0
取x=1，得=（1，-1，1）
而=（，0，0）
所以，cos＜，＞==
所以直线BE与平面ACG所成角的正弦值为
法二、
由（I）AG⊥平面BCG，平面ACG⊥平面BCG
作BH⊥GC，∴BH⊥面ACG，延长AG、BE交于K，连HK，
所以∠KHB即为直线BE与平面ACG所成角．

由（I）知，AG⊥平面BCG；，故AG⊥BG，
AF=BE= AB．
BG=AB，
BH===AB．
sin∠KHB==
所以直线BE与平面ACG所成角的正弦值为．