Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，其中α，β∈R，且α-2β=1．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设点C的轨迹与双曲线交于两点M，N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值．

Answer

（1）由向量等式，得点C的坐标，消去参数即得点C的轨迹方程；
（2）将直线与双曲线方程组成方程组，利用方程思想，求出x1x2+y1y2，再结合向量的垂直关系得到关于a，b的关系，化简即得结论．
【解析】
（Ⅰ）设C（x，y），∵，
∴（x，y）=α（1，0）+β（0，-2）．
∴
即点C的轨迹方程为x+y=（15分）
（Ⅱ）由得（b2-a2）x2+2a2x2-a2-a2b2=0
由题意得（8分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则（10分）
∵以MN为直径的圆过原点，∴．即x1x2+y1y2=0．
∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+2x1x2
=．即b2-a2-2a2b2=0．
∴为定值．（14分）